extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

/Parent 44 0 R ( 0 f x donde zz se mide en miles de dlares. + Lo mismo ocurre con las funciones de ms de una variable, como se indica en el siguiente teorema. que se anulen en \(a\) no significa que \(a\) sea un extremo, pero es un requisito indispensable. x, f 2 c , y , ( ( y , y , = A menudo, la prueba de la segunda derivada puede determinar si una funcin de dos variables tiene un mnimo local (a), un mximo local (b) o un punto de silla (c). = y ( x z ) , y x y f(x,y)=x33xyy3f(x,y)=x33xyy3 sobre R={(x,y):2x2 ,2y2 }R={(x,y):2x2 ,2y2 }, f(x,y)=2yx2 +y2 +1f(x,y)=2yx2 +y2 +1 sobre R={(x,y):x2 +y2 4}R={(x,y):x2 +y2 4}. + x c Una empresa de transporte maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, la anchura y la altura de la caja no supere 9696 pulgadas Halle las dimensiones de la caja que cumple esta condicin y tiene el mayor volumen. f Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). 2 = , ( y 3 , El grfico de la funcin dada de dos variables es tambin un paraboloide. , ( endobj x = /BitsPerComponent 8 ) A continuacin, elevamos al cuadrado ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuacin por 1:1: Ahora, reordenamos los trminos, poniendo los trminos xx juntos y los trminos yy juntos, y aadimos 88 a cada lado: A continuacin, agrupamos los pares de trminos que contienen la misma variable entre parntesis, y factorizamos 44 del primer par: A continuacin, completamos el cuadrado en cada par de parntesis y aadimos el valor correcto al lado derecho: A continuacin, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho: Por ltimo, dividimos ambos lados entre 16:16: Esta ecuacin describe una elipse centrada en (1,2).(1,2). 4 0 obj << , x 2 , Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. 3 2 2 , y LhnJz>FX^i$$)^P`jt5R3Y5jan @Ty@oad68 G\(S"s>}tHjTQ@94U[NS(.4rA"^U`8YD}S*MNA2EaP'u+9}6k5! 2 y = 0 y de funciones de dos variables en el dominio de la funcin (que consideramos x = 2 1, f x y 4 ( x y Es decir, si es un 2 ( 3 Otra restriccin es que ambos, xyyxyy deben ser no negativos. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. 9 c x En la primera funcin, (x,y,z)(x,y,z) representa un punto en el espacio, y la funcin ff aplica a cada punto del espacio a una cuarta cantidad, como la temperatura o la velocidad del viento. :74k!a{%k5j FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.1] Hallar y representar grficamente las curvas de nivel de la funcin . 1 x } !1AQa"q2#BR$3br 30 y ) , x = y + 2 ( x x Regla de la segunda derivada. Por lo tanto, es tanto un mximo global para una traza como un mnimo global para otra. ) , (a) Un mapa topogrfico de la Torre del Diablo, Wyoming. x Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topogrfico. 2 + y ( 8 y, f Dada una funcin f(x,y,z)f(x,y,z) y un nmero cc en el rango de f,f, una superficie de nivel de una funcin de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c. Halle los valores de x y de y para maximizar los ingresos totales. = y La compaa Pro-TT ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del nmero x de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del nmero de horas al mes de publicidad y, segn la funcin. c y x Es una condicin = z x 2 % Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que estn ms cerca del origen. x = ) 2 = Las tres trazas en el plano xz xz son funciones de coseno; las tres trazas en el plano yz yz son funciones de seno. 1 Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. y , x g 2 ), Derecho Penal. 7 2 2 2 , El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. /Length 80863 ) f x x , z 2 Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto (x,y)(x,y) en el dominio de f,f, entonces ff tiene un mnimo global (tambin llamado mnimo absoluto) en (x0,y0).(x0,y0). = 2 x = , ; y x ) Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. , y 2 y x y 2 c y 2 Una traza vertical de la funcin puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuacin f(a,y)=zf(a,y)=z para una constante dada x=ax=a o f(x,b)=zf(x,b)=z para una constante dada y=b.y=b. + = ) x x , ( Halle la superficie de nivel para la funcin f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 correspondiente a c=1.c=1. 3 , Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. 2 4 x 8 4 2 Nuestro primer paso es explicar qu es una funcin de ms de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. + + ) Estas esquinas estn situadas en (0,0),(50,0),(50,25)y(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)y(0,25): El valor crtico mximo es 648,648, que se produce en (21,3).(21,3). x Las variables independientes x y y se consideran variables espaciales, y la variable t representa el tiempo. Supongamos que fxfx y fyfy existen en (x0,y0).(x0,y0). Aplicar una prueba de segunda derivada para identificar un punto crtico como mximo local, mnimo local o punto de silla para una funcin de dos variables. Por tanto, se trata de un punto de silla. En la ecuacin de Laplace, la funcin desconocida u tiene dos variables independientes x y y. correspondiente a c=2 ,c=2 , y describa la superficie, si es posible. Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas de una funcin de una variable es la determinacin de los valores mximos o mnimos. , 2 2 Por lo tanto, el grfico de la funcin ff se compone de triples ordenados (x,y,z).(x,y,z). ( y 5, f superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. x , x x , 2 Ejercicio resuelto, paso a paso, utilizando el mtodo de los . El grfico de las distintas curvas de nivel de una funcin se denomina lneas de contorno. W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . 3 Creative ) = + 4 + y x =)U!xQ,)+`5!n=-?% u/(e._jq0-H,,4QV7o>hO"Ov"Zs]J{ `DX}5 4hlnB4u&zVXyB{eK`:Nu#N-lV9[ Mb:lpYN_cTF~}?y9F?v0BWH De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. = x x 2022 OpenStax. 0 x calor y en consecuencia el coste de calefaccin. x 4 f x Como fx(x;y) =2x ; 33(x2+y2)2fy(x;y) =2y ; 3 3(x2+y2)2 vemos que ambas derivadas parciales estn denidas en todoR2, excepto en(0;0). y x 8 0 2 ; y 2 g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 )g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 ) grandes. f f x , y endobj 1 ln + /Annots [ 23 0 R 24 0 R 25 0 R 26 0 R 27 0 R 28 0 R 30 0 R 32 0 R 34 0 R ] z w !1AQaq"2B #3Rbr Por tanto, queremos que. Por lo tanto, una ganancia mxima de $648.000$648.000 se realiza cuando se venden 21.00021.000 pelotas de golf y 33 horas de publicidad se compran al mes, como se muestra en la siguiente figura. y x 9 ) ( Esta aplicacin tambin es importante para las funciones de dos o ms variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este captulo, la introduccin de ms variables independientes conduce a ms resultados posibles para los clculos. x c x y ; x que anulan las derivadas parciales. ) + x x , ) kd7,qWc(1h,&x*LuYu.}mVN2FesI'uy9X_B((7 5Euo"=i '7lqQ^ 16 2 + g Cules son el dominio y el rango de f?f? 2 x y 5 Notemos que la funcin nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crtico debe ser donde se anula la funcin y, por tanto, se trata de un mnimo absoluto. 36 2 2 , If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. ( cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z = El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. ( x = ) f , x x + ) + ) 62, f f 2 49 y (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. 300 ) y y z extremo relativo \(a\), entonces son iguales a 0. endobj y y + ( Por definicin ,/ 22 Cxy xy. ((DQ@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@]\Gim,HB d~f'Sj.~# S5 iAg?s.?NSQ^EPEP;'5KI(TE x = OpenStax forma parte de Rice University, una organizacin sin fines de lucro 501 (c) (3). = ( x Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D.D. c = endobj >> ( = 2 y y ( /Width 1091 x , y ( + 1 0 obj y z x = 0. Cree un grfico de cada una de las siguientes funciones: Una funcin de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por. , x + X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb 10 x 2 2, z=f(x,y)=x2 +y2 ,z=f(x,y)=x2 +y2 , c=3c=3, f(x,y)=y+2 x2 ,f(x,y)=y+2 x2 , c=c= cualquier constante. x , x x Otra herramienta til para entender el grfico de una funcin de dos variables se llama traza vertical. w z + x Ejemplos de superficies que representan funciones de dos variables: (a) una combinacin de una funcin potencia y una funcin de seno y (b) una combinacin de funciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas. = ( x 2 2, f Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. 2 y 2 ) x , y , , ) 2 x x . 15 2 x = 2 Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. x ) ) A continuacin, cree un mapa de lneas de contorno para esta funcin. = y = by J. Llopis is licensed under a + Parte General (Francisco Muoz Conde y Mercedes Garca Arn), Goodman and Gilman's Manual of Pharmacological Therapeutics (Laurence Brunton; Donald Blumenthal), Ejercicio de seminario - Modelo entidad-relacin extendido, Ejercicio A. Detalles de entibaciones y ejercicios de empujes Resolucin, Calidad del Software - Tema 4 - Modelos y Caracteristicas de Calidad del Software, Colecccion 1 Ejercicios Normalizacion soluciones, de volumen con forma de paraleleppedo. 9 z , z 3 Halle los valores mximos y mnimos absolutos de f(x,y)=x2 +y2 2 y+1f(x,y)=x2 +y2 2 y+1 en la regin R={(x,y)|x2 +y2 4}.R={(x,y)|x2 +y2 4}. y y y Para las funciones de dos o ms variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales. x y xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+|  75 ( ( y ) 2 ) 0 = y Por tanto, por la teora de mximos relativos para funciones de una variable, se tiene que f (x ,y ) 0 y f (x ,y ) 0. x 00 y 00 ==. 2, f = Esta ecuacin describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura. 2 x Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. Supongamos que fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 y fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. 2 4, w %PDF-1.5 = , Tambin tenemos que hallar los valores de f(x,y)f(x,y) en las esquinas de su dominio. y Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. 4 z Entonces, la Ecuacin 4.1 se convierte en. , En los siguientes ejercicios, halle las curvas de nivel de cada funcin en el valor indicado de cc para visualizar la funcin dada. 0 300 x x + ) ) f = , 3 x Recomendamos utilizar una = + ) y y = = Ahora que sabemos que cualquier funcin continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cmo hallarlos. f ) 4 Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores crticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la funcin en sus puntos extremos. + 1 x x 2 Para aplicar la prueba de la segunda derivada, es necesario que primero hallemos los puntos crticos de la funcin. Aqu hay algunos ejemplos donde se presentan funciones de varias variables: Ejemplo 1: de la posicin a la temperatura. x y Verifique el grfico mediante tecnologa. + :}O(9 D}I/_$ y&o*9>6_3^h )>'M/,Rd|_Y/x _V_qR__XAT)lsuaQ iQOREXU .#&+Oat?%IU1ipWRZcOWZ%+ffIQZ` A_ ? x , + c c El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mximo local. y + 1 2, f e + = y ( ) ( x 2 , y Solucin . ) parciales (es decir, que existen) en un Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topogrfico que muestre la inclinacin de los senderos. Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). y y 2 c En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos x y Si el lmite del conjunto DD es una curva ms complicada definida por una funcin g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede ser til para determinar los extremos de ff en el borde. 3 Creative g Llamamos a las derivadas parciales de \(f\) en \(a\) del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de \(f\) en \(a\) como, Si \(H > 0\) y \(A<0\), entonces \(f\) tiene un mximo local en \(a\), Si \(H > 0\) y \(A>0\), entonces \(f\) tiene un mnimo local en \(a\), Si \(H < 0\), entonces \(f\) tiene un punto de silla en \(a\).

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